নাইট'স ট্যুর এবং ম্যাজিক স্কয়ার
ধাঁধার জগতে খুব জনপ্রিয় একটি ধাঁধা হোল নাইটস ট্যুর । আমরা সবাই কম বেশি দাবা খেলতে পারি । একটি দাবার বোর্ড এ ঘোড়াকে এমন ভাবে চালতে হবে যেন ঘোড়া বা নাইট ৬৪ টি চালে দাবার বোর্ড এর ৬৪ টি ঘর ই ভ্রমণ করে । তবে কোন ঘরেই একবার এর বেশি যাওয়া যাবেনা । এর অনেক গুলো সমাধান রয়েছে । অনেক গণিতবিদ ও এই পাজল সমাধান করেছেন এবং এতে নতুন মাত্রা যোগ করেছেন ।
১। Abraham Di Moivre প্রথম দিকে এর একটি সমাধান দেন । তার সমাধান টি নিম্নরূপ......
২। কিন্তু Moivre যে সমাধান টি দেন তাতে শেষ চাল এবং প্রথম চাল একটি চালের দূরত্বে ছিলনা । অর্থাৎ ৬৪ তম চালের পরবর্তী চালে যেখান থেকে শুরু হয়েছে, সেখানে যাওয়া যায়না । পরবর্তীতে ফরাসি গণিতবিদ Adrien Marie Legendre আরেকটি সমাধান দেন যেটাতে তিনি ৬৪ তম চালের পর ৬৫ তম চালে আবার ঘোড়া কে শুরুর স্থানে নিয়ে যান । এই ধরনের সমাধান কে Reentrant বলে । Legendre র সমাধান টি নিম্নরূপ...
৩। সুইডিশ গণিতবিদ Leonard Eular এরকম একটি Reentrant সমাধান পান যেটাতে তিনি দাবার বোর্ড টিকে দুই ভাগে ভাগ করেন এবং প্রথম অর্ধাংশের সব গুলো ঘরে ঘোড়া চালার পর তিনি দ্বিতীয় অর্ধাংশে যান । একে তো Reentrant তার উপর আবার শুধু অর্ধাংশে চালতে হবে । এসব শর্ত অনুযায়ী পাজল টি যে কতটা কমপ্লিকেটেড টা সমাধান না করতে গেলে বোঝা যাবেনা । এটি অয়লার এর সমাধান, ছোট বর্গ ৪ টি দুই অংশের মাঝে পারাপারের দিক নির্দেশ করে...
৪। এতক্ষণ আমরা যে সমাধান গুলো দেখলাম সেগুলো ছিল 2D সারফেস এ, এবারের সমাধান টি 3D সারফেস এ করা । ধরি, একটি ঘনকের ৬ টি তলের প্রত্যেক টি একেকটি দাবার বোর্ড । এই ঘনক টি তে এমন ভাবে ঘোড়া চালতে হবে যেন ৬ টি সারফেস এর প্রত্যেক ঘরে ঘোড়া যায় । আরও ভাল হয় যদি সমাধান টি Reentrant হয় । এরকম ই চমৎকার একটি সমাধান H. E. Dudeney তার 'Amusement in Mathematics' বই টিতে দিয়েছেন । নিচে সেটি দেয়া হোল...
৫। ম্যাজিক স্কয়ার হোল অপর একটি জনপ্রিয় পাজল । ডঃ মুহাম্মাদ জাফর ইকবাল এর 'নিউরনে আবার অনুরণন' বইটির কল্যাণে আমরা কম বেশি সবাই এই পাজল টির সম্পর্কে জানি । ম্যাজিক স্কয়ার হোল সংখ্যার নির্দিষ্ট বিন্যাস সমন্বিত একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স যাতে ঐ ম্যাট্রিক্স এর সকল সারি, কলাম, কর্ণের সংখ্যা গুলোর যোগফল সমান হয় । যেহেতু পাজল এর সাথে সম্পৃক্ত প্রায় সকলেই এটি সম্পর্কে জানে, তাই এই নোট এ আমরা ব্যাখ্যায় না যেয়ে কিছু মজার ম্যাজিক স্কয়ার দেখব ।
A. W. Johnson নিচের স্কয়ার টি আবিষ্কার করেন । এই স্কয়ার টির বিশেষত্ব হোল এতে বাবহৃত সকল সংখ্যা মৌলিক । আরও মজার ব্যাপার হোল এর সকল সারি, কলাম, প্রধান কর্ণ এবং অপর একটি ব্রোকেন কর্ণের যোগফল হোল বিস্ট নাম্বার 666. ছবি তে ব্রোকেন কর্ণ টি ডার্ক করে দেখান হয়েছে ।
৬। নিচের ম্যাজিক স্কয়ার টির সবগুলো সংখ্যাও মৌলিক । এবারে মৌলিক সংখ্যা গুলো রয়েছে সমান্তর প্রগমন (arithmetic progression) এ । এই 3x3 স্কয়ার টির সারি, কলাম, প্রধান কর্ণের যোগফল 3117 যা এই ধরনের স্কয়ার এর জন্য সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম ম্যাজিক কন্সট্যান্ট ।
৭। নিচের 4x4 স্কয়ার টির প্রতিটি সংখ্যা 4 ডিজিট এর । প্রথমে সংখ্যা গুলোর বিশেষত্ব বলে নিই । প্রতিটা সংখ্যা শুধুমাত্র 1,8 এই দুটি অংক দ্বারা গঠিত । মোট 2^4 = 16 টি সংখ্যা সম্ভব, এই 16 টি সংখ্যাই স্কয়ার এর উপাদান । এবারে আসি স্কয়ার টির বিশেষত্বে । স্কয়ার এর বৈশিষ্ট অনুযায়ী সারি, কলাম, প্রধান কর্ণের যোগফল ১৯৯৯৮ (ম্যাজিক কন্সট্যান্ট ১৯৯৯৮)। শুধু তাই নয়, একে ১৮০ ডিগ্রী ঘুরালে (upside down) কিংবা আয়নায় প্রতিফলিত করে যে স্কয়ার পাওয়া যায় তাও একটি ম্যাজিক স্কয়ার । আবার এর যেকোনো 2x2 সাব স্কয়ার এর সংখ্যা গুলোর যোগফল ও ১৯৯৯৮, এর 4 কর্নার এর 4টি সংখ্যার যোগফল ও ১৯৯৯৮ !
৮। এবারে যে স্কয়ার টির কথা বলব সেটি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যা দ্বারা গঠিত । খুবই কঠিন কাজ, আর এই কাজটি সর্ব প্রথম করে দেখান Harry Nelson. এজন্য তিনি ১০০ ডলার পুরস্কার ও পান.... :)
৯। আমরা নাইট ট্যুর ও দেখলাম, ম্যাজিক স্কয়ার ও দেখলাম । কেমন হয় যদি দুইটিই একত্রে সমাধান করতে হয় ? :o দাবার ঘোড়া প্রথম যেখান থেকে শুরু করবে সেখানে 1, পরবর্তী চালে যেখানে যাবে সেখানে 2... এভাবে 64 তম চালে যেখানে যাবে সেখানে 64 বসাতে হবে । তবে নাইট ট্যুর এর নিয়ম অনুযায়ী ঘোড়া কোন ঘরেই এক বারের বেশি যেতে পারবেনা এবং ম্যাজিক স্কয়ার এর নিয়ম অনুযায়ী বসানো সংখ্যা গুলোর যোগফল প্রতিটি সারি, কলাম এবং প্রধান কর্ণে সমান হতে হবে । বোঝাই যাচ্ছে এটি সমাধান এর জন্য কি পরিমাণ ধৈর্য প্রয়োজন । এখানে একটা কথা বলা ভাল যে যদি একটি NxN ম্যাজিক স্কয়ার এর উপাদান সংখ্যা গুলো যদি ক্রমিক হয় এবং 1 থেকে শুরু করে N^2 পর্যন্ত হয় তবে ম্যাজিক কন্সট্যান্ট হবে {N(N^2+1)}/2. যেহেতু নাইট'স ম্যাজিক স্কয়ার এর এন্ট্রি গুলো 1 থেকে 64 পর্যন্ত, তাই এর ম্যাজিক কন্সট্যান্ট 260 হবে । এই পাজল টি সর্বপ্রথম সমাধান করেন Leonard Euler. Euler এর এই নাইট'স ম্যাজিক স্কয়ার এর আরেকটি বিশেষত্ব হোল এটির প্রধান 4টি 4x4 সাব স্কয়ার ও একেকটি ম্যাজিক স্কয়ার যার ম্যাজিক কন্সট্যান্ট 130. কিন্তু Euler এই স্কয়ার টির প্রধান কর্ণ গুলির যোগফল 260 কিংবা 130 নয় । এটাই একমাত্র সমস্যা কিন্তু তারপরেও অসাধারন । নিচে তার সমাধান টি দেয়া হোল ........
১১। 1862 খ্রিস্টাব্দে C. F. Jaenisch নিচের নাইট'স ম্যাজিক স্কয়ার টি সমাধান করেন । তার এই সমাধান টির বিশেষত্ব হোল এটি Reentrant বা Closed (65 তম চালে শুরুর স্থানে যাওয়া যায় ) । কিন্তু Euler এর মত এটির প্রধান কর্ণ দুটির যোগফল ও 260 নয় :'(
১। Abraham Di Moivre প্রথম দিকে এর একটি সমাধান দেন । তার সমাধান টি নিম্নরূপ......
২। কিন্তু Moivre যে সমাধান টি দেন তাতে শেষ চাল এবং প্রথম চাল একটি চালের দূরত্বে ছিলনা । অর্থাৎ ৬৪ তম চালের পরবর্তী চালে যেখান থেকে শুরু হয়েছে, সেখানে যাওয়া যায়না । পরবর্তীতে ফরাসি গণিতবিদ Adrien Marie Legendre আরেকটি সমাধান দেন যেটাতে তিনি ৬৪ তম চালের পর ৬৫ তম চালে আবার ঘোড়া কে শুরুর স্থানে নিয়ে যান । এই ধরনের সমাধান কে Reentrant বলে । Legendre র সমাধান টি নিম্নরূপ...
৩। সুইডিশ গণিতবিদ Leonard Eular এরকম একটি Reentrant সমাধান পান যেটাতে তিনি দাবার বোর্ড টিকে দুই ভাগে ভাগ করেন এবং প্রথম অর্ধাংশের সব গুলো ঘরে ঘোড়া চালার পর তিনি দ্বিতীয় অর্ধাংশে যান । একে তো Reentrant তার উপর আবার শুধু অর্ধাংশে চালতে হবে । এসব শর্ত অনুযায়ী পাজল টি যে কতটা কমপ্লিকেটেড টা সমাধান না করতে গেলে বোঝা যাবেনা । এটি অয়লার এর সমাধান, ছোট বর্গ ৪ টি দুই অংশের মাঝে পারাপারের দিক নির্দেশ করে...
৪। এতক্ষণ আমরা যে সমাধান গুলো দেখলাম সেগুলো ছিল 2D সারফেস এ, এবারের সমাধান টি 3D সারফেস এ করা । ধরি, একটি ঘনকের ৬ টি তলের প্রত্যেক টি একেকটি দাবার বোর্ড । এই ঘনক টি তে এমন ভাবে ঘোড়া চালতে হবে যেন ৬ টি সারফেস এর প্রত্যেক ঘরে ঘোড়া যায় । আরও ভাল হয় যদি সমাধান টি Reentrant হয় । এরকম ই চমৎকার একটি সমাধান H. E. Dudeney তার 'Amusement in Mathematics' বই টিতে দিয়েছেন । নিচে সেটি দেয়া হোল...
৫। ম্যাজিক স্কয়ার হোল অপর একটি জনপ্রিয় পাজল । ডঃ মুহাম্মাদ জাফর ইকবাল এর 'নিউরনে আবার অনুরণন' বইটির কল্যাণে আমরা কম বেশি সবাই এই পাজল টির সম্পর্কে জানি । ম্যাজিক স্কয়ার হোল সংখ্যার নির্দিষ্ট বিন্যাস সমন্বিত একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স যাতে ঐ ম্যাট্রিক্স এর সকল সারি, কলাম, কর্ণের সংখ্যা গুলোর যোগফল সমান হয় । যেহেতু পাজল এর সাথে সম্পৃক্ত প্রায় সকলেই এটি সম্পর্কে জানে, তাই এই নোট এ আমরা ব্যাখ্যায় না যেয়ে কিছু মজার ম্যাজিক স্কয়ার দেখব ।
A. W. Johnson নিচের স্কয়ার টি আবিষ্কার করেন । এই স্কয়ার টির বিশেষত্ব হোল এতে বাবহৃত সকল সংখ্যা মৌলিক । আরও মজার ব্যাপার হোল এর সকল সারি, কলাম, প্রধান কর্ণ এবং অপর একটি ব্রোকেন কর্ণের যোগফল হোল বিস্ট নাম্বার 666. ছবি তে ব্রোকেন কর্ণ টি ডার্ক করে দেখান হয়েছে ।
৭। নিচের 4x4 স্কয়ার টির প্রতিটি সংখ্যা 4 ডিজিট এর । প্রথমে সংখ্যা গুলোর বিশেষত্ব বলে নিই । প্রতিটা সংখ্যা শুধুমাত্র 1,8 এই দুটি অংক দ্বারা গঠিত । মোট 2^4 = 16 টি সংখ্যা সম্ভব, এই 16 টি সংখ্যাই স্কয়ার এর উপাদান । এবারে আসি স্কয়ার টির বিশেষত্বে । স্কয়ার এর বৈশিষ্ট অনুযায়ী সারি, কলাম, প্রধান কর্ণের যোগফল ১৯৯৯৮ (ম্যাজিক কন্সট্যান্ট ১৯৯৯৮)। শুধু তাই নয়, একে ১৮০ ডিগ্রী ঘুরালে (upside down) কিংবা আয়নায় প্রতিফলিত করে যে স্কয়ার পাওয়া যায় তাও একটি ম্যাজিক স্কয়ার । আবার এর যেকোনো 2x2 সাব স্কয়ার এর সংখ্যা গুলোর যোগফল ও ১৯৯৯৮, এর 4 কর্নার এর 4টি সংখ্যার যোগফল ও ১৯৯৯৮ !
৮। এবারে যে স্কয়ার টির কথা বলব সেটি ক্রমিক মৌলিক সংখ্যা দ্বারা গঠিত । খুবই কঠিন কাজ, আর এই কাজটি সর্ব প্রথম করে দেখান Harry Nelson. এজন্য তিনি ১০০ ডলার পুরস্কার ও পান.... :)
৯। আমরা নাইট ট্যুর ও দেখলাম, ম্যাজিক স্কয়ার ও দেখলাম । কেমন হয় যদি দুইটিই একত্রে সমাধান করতে হয় ? :o দাবার ঘোড়া প্রথম যেখান থেকে শুরু করবে সেখানে 1, পরবর্তী চালে যেখানে যাবে সেখানে 2... এভাবে 64 তম চালে যেখানে যাবে সেখানে 64 বসাতে হবে । তবে নাইট ট্যুর এর নিয়ম অনুযায়ী ঘোড়া কোন ঘরেই এক বারের বেশি যেতে পারবেনা এবং ম্যাজিক স্কয়ার এর নিয়ম অনুযায়ী বসানো সংখ্যা গুলোর যোগফল প্রতিটি সারি, কলাম এবং প্রধান কর্ণে সমান হতে হবে । বোঝাই যাচ্ছে এটি সমাধান এর জন্য কি পরিমাণ ধৈর্য প্রয়োজন । এখানে একটা কথা বলা ভাল যে যদি একটি NxN ম্যাজিক স্কয়ার এর উপাদান সংখ্যা গুলো যদি ক্রমিক হয় এবং 1 থেকে শুরু করে N^2 পর্যন্ত হয় তবে ম্যাজিক কন্সট্যান্ট হবে {N(N^2+1)}/2. যেহেতু নাইট'স ম্যাজিক স্কয়ার এর এন্ট্রি গুলো 1 থেকে 64 পর্যন্ত, তাই এর ম্যাজিক কন্সট্যান্ট 260 হবে । এই পাজল টি সর্বপ্রথম সমাধান করেন Leonard Euler. Euler এর এই নাইট'স ম্যাজিক স্কয়ার এর আরেকটি বিশেষত্ব হোল এটির প্রধান 4টি 4x4 সাব স্কয়ার ও একেকটি ম্যাজিক স্কয়ার যার ম্যাজিক কন্সট্যান্ট 130. কিন্তু Euler এই স্কয়ার টির প্রধান কর্ণ গুলির যোগফল 260 কিংবা 130 নয় । এটাই একমাত্র সমস্যা কিন্তু তারপরেও অসাধারন । নিচে তার সমাধান টি দেয়া হোল ........
১১। 1862 খ্রিস্টাব্দে C. F. Jaenisch নিচের নাইট'স ম্যাজিক স্কয়ার টি সমাধান করেন । তার এই সমাধান টির বিশেষত্ব হোল এটি Reentrant বা Closed (65 তম চালে শুরুর স্থানে যাওয়া যায় ) । কিন্তু Euler এর মত এটির প্রধান কর্ণ দুটির যোগফল ও 260 নয় :'(
Comments
Post a Comment